JavaScript 中的二叉树以及二叉搜索树的实现及应用

接下来让我们一起来探讨js数据结构中的树。这里的树类比现实生活中的树，有树干，树枝，在程序中树是一种数据结构，对于存储需要快速查找的数据非有用，它是一种分层数据的抽象模型。一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点以及零个或多个子节点。如下所以为一个树结构：）

和树相关的概念：1.子树：由节点和他的后代构成，如上图标示处。2.深度：节点的深度取决于它祖节点的数量，比如节点5有2个祖节点，他的深度为2。3.高度：树的高度取决于所有节点深度的最大值。

二叉树和二叉搜索树介绍

二叉树中的节点最多只能有2个子节点，一个是左侧子节点，一个是右侧子节点，这样定义的好处是有利于我们写出更高效的插入，查找，删除节点的算法。

二叉搜索树是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧子节点存储比父节点小的值，但在右侧节点存储比父节点大的值。接下来我们将按照这个思路去实现一个二叉搜索树。

1. 创建BinarySearchTree类

这里我们将使用构造函数去创建一个类：

1function BinarySearchTree(){
2    // 用于创建节点的类
3    let Node = function(key) {
4        this.key = key;
5        this.left = null;
6        this.right = null;
7    }
8    // 根节点
9    let root = null;
10}

我们将使用和链表类似的指针方式去表示节点之间的关系，如果不了解链表，请看我后序的文章《如何实现单向链表和双向链表》。

2.插入一个键

1// 插入一个键
2this.insert = function(key) {
3    let newNode = new Node(key);
4    root === null ? (root = newNode) : (insertNode(root, newNode))
5}

向树中插入一个新的节点主要有以下三部分：1.创建新节点的Node类实例 --> 2.判断插入操作是否为根节点,是根节点就将其指向根节点 --> 3.将节点加入非根节点的其他位置。

insertNode的具体实现如下：

1function insertNode(node, newNode){
2    if(newNode.key < node.key) {
3        node.left === null ? (node.left = newNode) : (insertNode(node.left, newNode))
4    }else {
5        node.right === null ? (node.right = newNode) : (insertNode(node.right, newNode))
6    }
7}

这里我们用到递归，接下来要实现的search，del等都会大量使用递归，所以说不了解的可以先自行学习了解。我们创建一个二叉树实例，来插入一个键：

1let tree = new BinarySearchTree();
2tree.insert(20);
3tree.insert(21);
4tree.insert(520);
5tree.insert(521);

插入的结构会按照二叉搜索树的规则去插入，结构类似于上文的第一个树图。

树的遍历

访问树的所有节点有三种遍历方式：中序，先序和后序。

中序遍历：以从最小到最大的顺序访问所有节点
先序遍历：以优先于后代节点的顺序访问每个节点
后序遍历：先访问节点的后代节点再访问节点本身

根据以上的介绍，我们可以有以下的实现代码。

中序排序

1this.inOrderTraverse = function(cb){
2    inOrderTraverseNode(root, cb);
3}
4
5// 辅助函数
6function inOrderTraverseNode(node, cb){
7    if(node !== null){
8        inOrderTraverseNode(node.left, cb);
9        cb(node.key);
10        inOrderTraverseNode(node.right, cb);
11    }
12}

使用中序遍历可以实现对树进行从小到大排序的功能。

先序排序

1// 先序排序 --- 优先于后代节点的顺序访问每个节点
2   this.preOrderTraverse = function(cb) {
3     preOrderTraverseNode(root, cb);
4   }
5
6   // 先序排序辅助方法
7   function preOrderTraverseNode(node, cb) {
8     if(node !== null) {
9       cb(node.key);
10       preOrderTraverseNode(node.left, cb);
11       preOrderTraverseNode(node.right, cb);
12     }
13   }

使用先序排序可以实现结构化输出的功能。

后序排序

1// 后续遍历 --- 先访问后代节点，再访问节点本身
2   this.postOrderTraverse = function(cb) {
3     postOrderTraverseNode(root, cb);
4   }
5
6   // 后续遍历辅助方法
7   function postOrderTraverseNode(node, cb) {
8     if(node !== null){
9       postOrderTraverseNode(node.left, cb);
10       postOrderTraverseNode(node.right, cb);
11       cb(node.key);
12     }
13   }

后序遍历可以用于计算有层级关系的所有元素的大小。

搜索树中的值

在树中有三种经常执行的搜索类型：最大值，最小值，特定的值。

最小值

最小值通过定义可以知道即是左侧树的最底端的节点，具体实现代码如下：

1// 最小值
2   this.min = function(){
3     return minNode(root)
4   }
5
6    function minNode(node) {
7     if(node) {
8       while(node && node.left !== null){
9         node = node.left;
10       }
11       return node.key
12     }
13     return null
14   }

相似的，实现最大值的方法如下：

1// 最大值
2   this.max = function() {
3     return maxNode(root)
4   }
5
6   function maxNode(node) {
7     if(node){
8       while(node && node.right !== null){
9         node = node.right;
10       }
11       return node.key
12     }
13     return null
14   }

2.搜索一个特定的值

1// 搜索树中某个值
2this.search = function(key) {
3    return searchNode(root, key)
4}
5
6// 搜索辅助方法
7function searchNode(node, key){
8    if(node === null) {
9        return false
10    }
11    if(key < node.key) {
12        return searchNode(node.left, key)
13    } else if(key > node.key) {
14        return searchNode(node.right, key)
15    }else {
16        return true
17    }
18}

移除一个节点

1this.remove = function(key){
2    root = removeNode(root, key);
3}
4
5// 发现最小节点
6function findMinNode(node) {
7    if(node) {
8    while(node && node.left !== null){
9        node = node.left;
10    }
11    return node
12    }
13    return null
14}
15
16// 移除节点辅助方法
17function removeNode(node, key) {
18    if(node === null) {
19    return null
20    }
21
22    if(key < node.key){
23    node.left = removeNode(node.left, key);
24    return node
25    } else if( key > node.key){
26    node.right = removeNode(node.right, key);
27    return node
28    } else {
29    // 一个页节点
30    if(node.left === null && node.right === null) {
31        node = null;
32        return node
33    }
34
35    // 只有一个子节点的节点
36    if(node.left === null) {
37        node = node.right;
38        return node
39    }else if(node.right === null) {
40        node = node.left;
41        return node
42    }
43
44    // 有两个子节点的节点
45    let aux = findMinNode(node.right);
46    node.key = aux.key;
47    node.right = removeNode(node.right, aux.key);
48    return node
49    }
50}

删除节点需要考虑的情况比较多，这里我们会使用和min类似的实现去写一个发现最小节点的函数，当要删除的节点有两个子节点时，我们要将当前要删除的节点替换为子节点中最大的一个节点的值，然后将这个子节点删除。

至此，一个二叉搜索树已经实现，但是还存在一个问题，如果树的一遍非常深，将会存在一定的性能问题，为了解决这个问题，我们可以利用AVL树，一种自平衡二叉树，也就是说任何一个节点的左右两侧子树的高度之差最多为1。

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