01
说明
接上一篇《 Fama-French三因子回归A股实证 》，继续写Carhart四因子模型，整个过程比较容易，还是基于Fama三因子的框架，多加进去一个动量因子进行回归。全文的代码数据论文获取请在后台回复“C4"。
贴上论文原文对于模型的说明如下
三行公式，第一行为CAPM，第二行为Fama三因子模型，第三行为四因子模型，其中，RMRF是市场因子，也就是我们上一篇中的MKT，PR1YRt是作者构建的动量因子，本文我们用UMD表示。
对于动量因子的定义，原文说明如下，黄字部分
解释一下， 每月末计算所有股票前2-12个月末的收益率，构建投资组合：前30%的等权组合，后30%的等权组合，二者收益率的差值定义为动量因子，组合月度调整 。
从定义来看，和Fama三因子的差异主要有两点，首先是 组合是等权的 ，Fama三因子中的组合都是市值加权的，其次 组合是月度构建的 ，三因子中的组合的年度构建的。最后需要说明一点，这里用2-12个月的收益率实际上是剔除了最近1个月的收益率，原因主要在于美股市场是短期反转，长期动量的，剃掉最近1个月的反转，可以得到比较纯粹的动量。
之后的部分和Fama三因子差不多了，因变量相同，自变量多一个动量因子，这里我们沿用上一篇的方式进行回归，构建25个投资组合，做25次回归（原文回归的过程不是这样做的，细节可以参考原文）。
02
实证部分
数据还是之前用的那些，没有变化，先给出动量因子的计算过程。首先每个月末把所有上市公司按前2-12个月末的收益率分为三层
1 # 动量因子UMD 2 3 4 5 6 7 def split_UMD( 8 9 10 11 12 13 x): 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x. 26 27 28 29 30 31 loc[ 32 33 34 35 36 37 x[ 38 39 40 41 42 43 'UMD'] >= 44 45 46 47 48 49 x.UMD.quantile( 50 51 52 53 54 55 0.7), 56 57 58 59 60 61 'group_UMD'] = 62 63 64 65 66 67 'UMD_H' 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 x. 80 81 82 83 84 85 loc[ 86 87 88 89 90 91 x[ 92 93 94 95 96 97 'UMD'] < 98 99 100 101 102 103 x.UMD.quantile( 104 105 106 107 108 109 0.3), 110 111 112 113 114 115 'group_UMD'] = 116 117 118 119 120 121 'UMD_L' 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 return 134 135 136 137 138 139 x 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 UMD = price.pivot( 152 153 154 155 156 157 index = 158 159 160 161 162 163 'tradedate',columns = 164 165 166 167 168 169 'stockcode', 170 171 172 173 174 175 values = 176 177 178 179 180 181 'price').pct_change( 182 183 184 185 186 187 11).shift( 188 189 190 191 192 193 1).fillna( 194 195 196 197 198 199 0) 200 201 202 203 204 205 UMD = UMD.stack().reset_index() 206 207 208 209 210 211 UMD = UMD. 212 213 214 215 216 217 rename(columns = {UMD.columns[ 218 219 220 221 222 223 2]: 224 225 226 227 228 229 'UMD'}) 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 f[ 248 249 250 251 252 253 'group_UMD'] = 254 255 256 257 258 259 'UMD_M' 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 f = pd.merge( 272 273 274 275 276 277 f,UMD,left_on =[ 278 279 280 281 282 283 'stockcode', 284 285 286 287 288 289 'tradedate'],right_on =[ 290 291 292 293 294 295 'stockcode', 296 297 298 299 300 301 'tradedate']) 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 f = 314 315 316 317 318 319 f .groupby([ 320 321 322 323 324 325 'ym']).apply(split_UMD) 326 327 328 329 330 331
计算最大组和最小组的等权收益率差值作为动量因子
1 # UMD因子 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 UMD_ret = f.groupby([ 14 15 16 17 18 19 'tradedate', 20 21 22 23 24 25 'group_UMD']).apply(lambda x:x.ret.mean()) 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 UMD_ret = UMD_ret.reset_index() 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 UMD_ret = UMD_ret.rename(columns = {UMD_ret.columns[- 50 51 52 53 54 55 1]: 56 57 58 59 60 61 'ret'}) 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 UMD_ret_pivot = UMD_ret.pivot(index = 80 81 82 83 84 85 'tradedate',columns = 86 87 88 89 90 91 'group_UMD',values = 92 93 94 95 96 97 'ret') 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 UMD = UMD_ret_pivot[ 110 111 112 113 114 115 'UMD_H'] - UMD_ret_pivot[ 116 117 118 119 120 121 'UMD_L'] 122 123 124 125 126 127
最后再把UMD因子和fama三因子进行合并，fama三因子的计算过程略去，可以看文章开头的链接
1 Carhart4 = pd.concat([SMB,HML,UMD],axis = 2 3 4 5 6 7 1) 8 9 10 11 12 13 Carhart4 = Carhart4.reset_index() 14 15 16 17 18 19 Carhart4.columns = [ 20 21 22 23 24 25 'tradedate', 26 27 28 29 30 31 'SMB', 32 33 34 35 36 37 'HML', 38 39 40 41 42 43 'UMD'] 44 45 46 47 48 49 Carhart4[ 50 51 52 53 54 55 'ym'] = Carhart4.tradedate.apply( 56 57 58 59 60 61 lambda x:x.year* 62 63 64 65 66 67 100 + x.month) 68 69 70 71 72 73
首先看看四个因子的收益曲线
可以明显看出，A股是没啥动量的，反转要显著一点。
个人粗浅的理解，反转一定程度上可以表示投机性的程度。A股的反转比较显著，这和A股的投资者结构关系比较大，主要为个人投资者，投机性更强一些。而且反转因子具有明显的收益集中在空头的特征，实际上和投机的心理非常一致：投资者非常可能在获得很高的收益后马上平仓，规避风险，而在股票暴跌很多时候去抄底承担风险的，虽然也有，但肯定比前者要少很多。当然，反转的不对称性也和A股不能做空有很大的关系。
接下来看看四个因子的相关性情况
动量因子和其他三个因子的相关性都很低。
接下来做四因子回归，代码和之前也是基本类似的
1 ### 四因子回归 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x = f25. 14 15 16 17 18 19 loc[:,[ 20 21 22 23 24 25 'SMB', 26 27 28 29 30 31 'HML', 32 33 34 35 36 37 'UMD', 38 39 40 41 42 43 'mkt_rf', 44 45 46 47 48 49 'Intercept']]. 50 51 52 53 54 55 values 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 r2 = [] 68 69 70 71 72 73 betas = [] 74 75 76 77 78 79 t = [] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 p = [] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 for i in 104 105 106 107 108 109 range( 110 111 112 113 114 115 25):# i = 116 117 118 119 120 121 0 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 y = f25. 134 135 136 137 138 139 loc[:,f25.columns[i+ 140 141 142 143 144 145 1]]. 146 147 148 149 150 151 values 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 mod = 164 165 166 167 168 169 sm.OLS( 170 171 172 173 174 175 y, 176 177 178 179 180 181 x).fit() 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 r2. 194 195 196 197 198 199 append([f25.columns[i+ 200 201 202 203 204 205 1], 206 207 208 209 210 211 mod.rsquared]) 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 betas. 224 225 226 227 228 229 append([f25.columns[i+ 230 231 232 233 234 235 1]] + 236 237 238 239 240 241 list( 242 243 244 245 246 247 mod.params)) 248 249 250 251 252 253 t. 254 255 256 257 258 259 append([f25.columns[i+ 260 261 262 263 264 265 1]] + 266 267 268 269 270 271 list( 272 273 274 275 276 277 mod.tvalues)) 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 p. 290 291 292 293 294 295 append([f25.columns[i+ 296 297 298 299 300 301 1]] + 302 303 304 305 306 307 list( 308 309 310 311 312 313 mod.pvalues)) 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 p = pd.DataFrame( 356 357 358 359 360 361 p,columns = [ 362 363 364 365 366 367 'group', 368 369 370 371 372 373 'SMB', 374 375 376 377 378 379 'HML', 380 381 382 383 384 385 'UMD', 386 387 388 389 390 391 'mkt_rf', 392 393 394 395 396 397 'Intercept']) 398 399 400 401 402 403 t = pd.DataFrame(t,columns = [ 404 405 406 407 408 409 'group', 410 411 412 413 414 415 'SMB', 416 417 418 419 420 421 'HML', 422 423 424 425 426 427 'UMD', 428 429 430 431 432 433 'mkt_rf', 434 435 436 437 438 439 'Intercept']) 440 441 442 443 444 445 betas = pd.DataFrame(betas,columns = [ 446 447 448 449 450 451 'group', 452 453 454 455 456 457 'SMB', 458 459 460 461 462 463 'UMD', 464 465 466 467 468 469 'HML', 470 471 472 473 474 475 'mkt_rf', 476 477 478 479 480 481 'Intercept']) 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 r2 = pd.DataFrame(r2,columns = [ 494 495 496 497 498 499 'group', 500 501 502 503 504 505 'r2']) 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 p_percent_car4 = ( 518 519 520 521 522 523 p.iloc[:, 524 525 526 527 528 529 1:]< 530 531 532 533 534 535 0.05).mean() 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 alpha = betas[[ 554 555 556 557 558 559 'group', 560 561 562 563 564 565 'Intercept']] 566 567 568 569 570 571 alpha[ 572 573 574 575 576 577 'g_BM'] = alpha.group.apply(lambda 578 579 580 581 582 583 x: 584 585 586 587 588 589 x[ 590 591 592 593 594 595 2]) 596 597 598 599 600 601 alpha[ 602 603 604 605 606 607 'g_SIZE'] = alpha.group.apply(lambda 608 609 610 611 612 613 x: 614 615 616 617 618 619 x[- 620 621 622 623 624 625 1]) 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 alpha = alpha.pivot( 638 639 640 641 642 643 index = 644 645 646 647 648 649 'g_SIZE',columns = 650 651 652 653 654 655 'g_BM', 656 657 658 659 660 661 values = 662 663 664 665 666 667 'Intercept') 668 669 670 671 672 673 alpha = alpha.reset_index() 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 alpha = alpha. 686 687 688 689 690 691 rename(columns = { 692 693 694 695 696 697 'g_SIZE': 698 699 700 701 702 703 '', 704 705 706 707 708 709 alpha.columns[ 710 711 712 713 714 715 1]: 716 717 718 719 720 721 'small BM', 722 723 724 725 726 727 alpha.columns[- 728 729 730 731 732 733 1]: 734 735 736 737 738 739 'big BM'}) 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 alpha.iloc[ 758 759 760 761 762 763 0, 764 765 766 767 768 769 0] = 770 771 772 773 774 775 'small SIZE' 776 777 778 779 780 781 alpha.iloc[- 782 783 784 785 786 787 1, 788 789 790 791 792 793 0] = 794 795 796 797 798 799 'big SIZE' 800 801 802 803 804 805 alpha 806 807 808 809 810 811
返回回归的p值、beta、r2、alpha。
对于四因子模型，主要说明三点：
首先，看回归的系数beta：
大部分回归里，动量的系数为负，再次说明主要是反转的贡献，不是动量。
其次，四因子回归系数的p值
统计其中5%显著性显著的回归个数
与三因子回归中显著的回归个数进行对比
可以看出，在加入UMD因子之后，系数的显著性没有降低。
类似的，统计三因子和四因子的25次回归里整体F检验的p值
也能看出，加入动量因子前， 92% 的回归是显著的，加入后， 96% 的回归是显著的，这说明 动 量因子确实包含有一些三因子模型无法解释的信息，可以提升三因子模型的效果 。
03
最后
最后，也可以类比《 基于Fama三因子的因子构建 》一文，去构建基于四因子的相关因子，但从相关券商报告的结论来看，效果没有非常好的改善，所以也没有做过多的尝试，如果有兴趣，欢迎交流。
参考文献
Carhart M M. On persistence in mutual fund performance[J]. The Journal of finance, 1997, 52(1): 57-82.
本文分享自微信公众号 - 数据科学实战（dsaction）。
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