Master公式计算递归时间复杂度

我们在算递归算法的时间复杂度时，Master定理为我们提供了很强大的便利！

Master公式在我们的面试编程算法中除了BFPRT算法的复杂度计算不了之外，其他都可以准确计算！

这里用求数组最大值的递归函数来举例：

public static int getMax(int[] arr, int L, int R) {
        if (L == R) {
            return arr[L];
        }
 
        int mid = (L + R) / 2;
 
        int maxLeft = getMax(arr, L, mid);
        int maxRight = getMax(arr, mid + 1, R);
        return Math.max(maxLeft, maxRight);
    }

master公式：也叫主定理。它提供了一种通过渐近符号表示递推关系式的方法。

                      应用Master定理可以很简便的求解递归方程。

T [n] = a*T[n/b] + O (N^d)

①当d<log(b,a)时，时间复杂度为O(n^(logb a))

②当d=log(b,a)时，时间复杂度为O((n^d)*logn)

③当d>log(b,a)时，时间复杂度为O(n^d)
以getMax来说明

将整个数组分为两部分，则左部分为n/2，右部分也为n/2，两者相加，返回操作为O(1)

则得到的式子如下：

T [n] = 2*T[n/2] + O (1)

a=2,b=2,d=0

d<log(b,a)则时间复杂度为O(n)

说明：

递归 就是系统帮自己做 压栈和出栈的过程

分析那个例子：

1 max(arr,0,3) ,开始执行 ，mid=1，然后到 max(arr,0,1)

2 遇到自己的方法max之后，就把当前的状态进行压栈，状态包括 方法调用到第几行，以及过程中的变量，如mid=1，left=0，right=3

3 max(arr,0,1)开始执行，mid=0，然后到max(arr,0,0)

4 遇到自己的方法max之后，就把当前的状态压栈，状态包括 方法调用到第几行，以及过程中的变量，如mid=0，left=0，right=1

5 max(arr,0,0)开始执行，此时left==right，返回值。

6 返回的值如何知道返回给哪个函数呢？此时把 栈顶的信息拿出，还原以前的状态，此时栈顶为max(arr,0,1),运行到

int maxLeft = getMax(arr,L,mid) 这一行，那么返回的值就赋给maxLeft

7 返回之后，函数继续运行，到了int maxRight = getMax(arr,mid+1,R); 此时再把当前的状态压栈，max(arr,0,1) ,行号，maxLeft等

8 同样的方法 把值返回给maxRight，最后返回最大值。如果栈中还有元素，继续出栈，然后赋值，知道最后栈中没有元素。