算法笔记：红黑树

红黑树，一种平衡二叉树，最为著名的应用就是C++ STL中的map，是有序集合最为理想的存储方式之一。除了二叉树所具有的属性之后，红黑树中每个节点多了一个“颜色”属性，可以是红色或者是黑色。一棵红黑树应该满足一下的性质：

1. 每个节点是红色或者黑色的；
2. 根节点是黑色的；
3. 每个叶节点nil是黑色的（使用哨兵节点在删除调整时可以方便不少）；
4. 如果一个节点是红色的，那么它的两个子节点是黑色的；
5. 对于每一个节点，到后代所有叶节点所经过的黑色节点数目相同。

根据定义，可以写出红黑树节点的数据结构：

struct Node {
    enum Color { RED, BLACK };
    Color _color;
    Key _key;
    Value _value;
    Node *_parent, *_left, *_right;
    Node(): _color(BLACK) {}
    Node(const Key &key, const Value &value, Node *left, Node *right, Node *parent):
        _key(key), _value(value), _color(RED), _left(left), _right(right), _parent(parent) {}
};

本文省略了拷贝、析构、赋值等操作，完整源代码放在Gist上。

旋转

想要红黑树维持着平衡，就需要在插入元素和删除元素的过程中不断对结构进行调整。其中，最基础的操作就是左旋和右旋。

以左旋为例，操作可以分为三步：

1. 将Q的左子节点变成P的右子节点；
2. 将P变成Q的左子节点；
3. 将Q变成当前子树的根节点。

void leftRotate(Node *x)
{
    Node *y = x->_right;
    // remove y->left to x->right
    x->_right = y->_left;
    if (x->_right != nil)
        x->_right->_parent = x;
    // remove y up
    y->_parent = x->_parent;
    if (x->_parent == nil)
        root = y;
    else if (x->_parent->_left == x)
        x->_parent->_left = y;
    else
        x->_parent->_right = y;
    // remove x down
    x->_parent = y;
    y->_left = x;
}

插入

先污染，后治理。首选按照二叉树的插入方法先将节点插入二叉树，然后再对红黑树进行调整。

void insert(Node *nptr)
{
    Node *it = root, *p = root;
    // find insert position
    while (it != nil) {
        p = it;
        if (nptr->_key < it->_key)
            it = it->_left;
        else if (nptr->_key > it->_key)
            it = it->_right;
        else {
            // find target key-value
            it->_value = nptr->_value;
            return;
        }
    }
    // insert
    nptr->_parent = p;
    if (p == nil)
        root = nptr;
    else if (nptr->_key < p->_key)
        p->_left = nptr;
    else
        p->_right = nptr;
    // fixup
    insertFixup(nptr);
}

在完成插入之后，将面临六种情况，由于存在左右对称的情况，实际上只需要考虑三种情况。

在情况1时，调整目标节点B的父节点和叔节点都是红节点，祖父节点为黑节点，我们需要将父节点和叔节点的颜色改成黑色，祖父节点设为红节点，并将调整目标设为祖父节点。

在情况2和情况3中，新插入节点的父节点为红节点，祖父节点为黑节点，并且叔节点为黑节点。首选需要把情况2转换成情况3，让B成为黑节点，A和C为B的红色子节点，并将调整目标设为A。往往在处理完这两种情况后，红黑树完成了调整。

由于NIL也算是黑色节点，所以还需要定义一个获取节点颜色的宏。

调整过程是自下而上的，一个插入的新节点的颜色是红色的，每次调整的目标是使每个子树保持红黑树的性质。对于情况2和3来说，调整结束后子树树根为黑色，对整体的性质不会造成影响。而在情况1中，子树树根为红色，对整体的性质造成了影响，需要继续调整，这就是循环条件的意义。

void insertFixup(Node *ptr)
{
    while (ptr->_parent->_color == Node::RED) {
        if (ptr->_parent == ptr->_parent->_parent->_left) {
            Node *y = ptr->_parent->_parent->_right;
            // case 1
            if (y->_color == Node::RED) {
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                y->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_parent->_color = Node::RED;
                ptr = ptr->_parent->_parent;
            } else {
                // case 2: switch case 2 to case 3
                if (ptr == ptr->_parent->_right) {
                    ptr = ptr->_parent;
                    leftRotate(ptr);
                }
                // case 3
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_parent->_color = Node::RED;
                rightRotate(ptr->_parent->_parent);
            }
        } else {
            // with 'left' and 'right' exchanged
            Node *y = ptr->_parent->_parent->_left;
            if (y->_color == Node::RED) {
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                y->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_parent->_color = Node::RED;
                ptr = ptr->_parent->_parent;
            } else {
                if (ptr == ptr->_parent->_left) {
                    ptr = ptr->_parent;
                    rightRotate(ptr);
                }
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_parent->_color = Node::RED;
                leftRotate(ptr->_parent->_parent);
            }
        }
    }
    root->_color = Node::BLACK;
}

删除

删除的过程比插入过程复杂很多。与二叉树一样，我们需要一个替换操作，将子树u替换成子树v。

void transplant(shared_ptr<Node> u, shared_ptr<Node> v)
{
    if (u->_parent == nil)
        root = v;
    else if (u == u->_parent->_left)
        u->_parent->_left = v;
    else
        u->_parent->_right = v;
    v->_parent = u->_parent;
}

删除的过程和二叉树类似，多了一些处理哨兵、记录颜色的过程。

    void remove(Node *ptr)
    {
        Node *y = ptr, *x;
        int y_original_color = y->_color;
        if (y->_left == nil) {
            x = ptr->_right;
            transplant(ptr, ptr->_right);
        } else if (y->_right == nil) {
            x = ptr->_left;
            transplant(ptr, ptr->_left);
        } else {
            y = min(ptr->_right);
            y_original_color = y->_color;
            x = y->_right;
            if (y->_parent == ptr)
                x->_parent = y; // change nil->_parent
            else {
                transplant(y, y->_right);
                y->_right = ptr->_right;
                y->_right->_parent = y;
            }
            transplant(ptr, y);
            y->_left = ptr->_left;
            y->_left->_parent = y;
            y->_color = ptr->_color;
        }
        if (y_original_color == Node::BLACK)
            deleteFixup(x);
    }

首先考虑一下删除节点的时候，我们对红黑树造成了什么样的影响。**如果删除一个红色节点，那么红黑树的性质并不会收到任何影响；如果删除的是一个黑色节点，那么意味着黑高相等的性质将不复存在，删除一个黑色节点。**那么和插入调整的思路类似，每次调整的目标是保持子树内的性质。

调整过程需要分左右对称的四种情况：

• 情况1：有一个红色的兄弟节点，通过旋转和颜色调换，使红色节点到调整目标节点一侧来，变成情况2、3、4中的一种；
• 情况2：兄弟节点的两个子节点全为黑，于是把兄弟节点设为红节点，这样一来，子树中的黑高是相等了，但是删除的黑节点并没有被弥补，还需要继续往上调整；
• 情况3：兄弟节点左红右黑，这个时候需要把红色节点调整到叔节点的右侧，变成情况4；
• 情况4：兄弟节点右节点为红，这个时候需要把红节点调整到调整目标节点一侧来，用这个红色节点弥补删除的黑色节点。调整结束后，子树满足红黑树性质，结束调整过程。

而对于循环条件。应该怎么理解呢？如果调整过程到了根节点，那么就不存在某子树内黑高缺一的情况，可以结束循环。如果遇到了红节点，那么把这个红节点变成黑节点就可以解决黑高不等的情况。

void removeFixup(Node *ptr)
{
    while (ptr != root && ptr->_color == Node::BLACK) {
        if (ptr == ptr->_parent->_left) {
            Node *w = ptr->_parent->_right;
            // case 1
            if (w->_color == Node::RED) {
                w->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_color = Node::RED;
                leftRotate(ptr->_parent);
                w = ptr->_parent->_right;
            }
            // case 2
            if (w->_left->_color == Node::BLACK && w->_right->_color == Node::BLACK) {
                w->_color = Node::RED;
                ptr = ptr->_parent;
            } else {
                // case 3
                if (w->_right->_color == Node::BLACK) {
                    w->_left->_color = Node::BLACK;
                    w->_color = Node::RED;
                    rightRotate(w);
                    w = ptr->_parent->_right;
                }
                // case 4
                w->_color = ptr->_parent->_color;
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                w->_right->_color = Node::BLACK;
                leftRotate(ptr->_parent);
                ptr = root;
            }
        } else {
            // with 'left' and 'right' exchanged
            Node *w = ptr->_parent->_left;
            if (w->_color == Node::RED) {
                w->_color = ptr->_parent->_color;
                ptr->_parent->_color = Node::RED;
                rightRotate(ptr->_parent);
                w = ptr->_parent->_left;
            }
            if (w->_left->_color == Node::BLACK && w->_right->_color == Node::BLACK) {
                w->_color = Node::RED;
                ptr = ptr->_parent;
            } else {
                if (w->_left->_color == Node::BLACK) {
                    w->_color = Node::RED;
                    w->_right->_color = Node::BLACK;
                    leftRotate(w);
                    w = ptr->_parent->_left;
                }
                w->_color = ptr->_parent->_color;
                w->_left->_color = Node::BLACK;
                ptr->_parent->_color = Node::BLACK;
                rightRotate(ptr->_parent);
                ptr = root;
            }
        }
    }
    ptr->_color = Node::BLACK;
}

查找

节点颜色对于查找过程没有意义，红黑树查找过程和二叉树是一样的。