动态规划之马拉车算法

问题描述：

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。如"abc"有三个回文子串‘a','b','c'.

示例 1：

输入："abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa" 输出：6 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

对于这个问题，简单的思路是枚举字符串中的每个子串，然后判断子串中回文串的个数。O(N^3)

本篇文章主要介绍我个人对马拉车算法实现思路的一些想法，原题解请看leetcode-647.回文子串

中心拓展法

由于回文串有对称性这一特点，每个回文串必然存在一个对称中心。我们可以对字符串中每个字符或两个字符之间的位置(若回文串长度为偶数)当作对称中心进行枚举,例如s="abcba",当i=2时，判断a[1]==a[3],a[0]==a[4].....如果左右两边字符相同时则继续扩展，一旦不相同则更新最大扩展长度并退出当前循环，继续枚举下一个对称中心。

假设字符串的长度为 n，枚举每个对称中心(长度为 1 和 0的对称中心分别有 n 和 n-1 个)，共遍历2n-1次，时间复杂度为 O(n)；每个对称中心最多向外拓展n次，所以整体的时间复杂度是 O(n^2)。空间复杂度为O(1)。

代码如下(直接抄leetcode了):

1//遍历2n-1次，就能够得到所有可能的对称中心
2for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) {
3            int l = i / 2, r = i / 2 + i % 2;//这样能够把长度为奇数和偶数的两种情况统一起来。
4            while (l >= 0 && r < n && s[l] == s[r]) {
5                --l;
6                ++r;
7                ++ans;
8            }
9        }

还有没有优化的空间呢？让我们看看在中心拓展法中出现的两个问题，然后了解一下马拉车算法如何对这两个问题进行处理。

1. 长回文串中的重复查找(关键)：

为了更简单直接地说明问题，我举一个极端的特例:字符串s="aaaaaaa"，并先对奇回文子串进行查找。尽管我们在以第2位字符为对称中心左右扩展时能够发现左回文子串s1="aaa"，并且以第四位字符为对称中心左右扩展能够发现了长回文串s，那么之后的查找中是否仍需要匹配后三位字符串呢？设Im为长回文串的对称中心

**其实，我们可以发现，若在一个长回文串中发现了左回文子串，根据回文串的对称性，那么在一定区域内的右子串中必然也存在一个回文串。**因此，上述重复查找过程是可以省去的。

2.对长度奇数或偶数的回文子串分情况讨论

马拉车算法：

一、算法分析：

马拉车算法的核心思路就在于，对每个长回文串的对称中心向两边进行拓展，同时记下前面已经查找过的回文子串半径(原理是动态规划的思想)，**其本质在于，如果能够找到一个长回文串，同时在它的对称中心左区域中找到一个回文子串，由于回文串的对称性，其右区域中必然是同样的回文子串。**因此这个算法能快速地找出最长的回文子串。当然也能用来求解回文子串的个数。

二、算法实现：

1.预处理(解决了奇偶回文串问题)：

• 为了利用回文串的对称性，同时解决回文子串长度有奇数和偶数两种情况的问题，马拉车算法在字符串首尾及每个字符间都插入一个 "#"。可以发现，无论回文子串原来是奇数还是偶数，最终都会变成奇回文子串，因此能够统一处理。即令原字符串为s,预处理后有 ts = s.replace('', '#')

• 我们定义①

  当前向两边拓展距离最大的回文串为最大回文串，即一个长回文串；②

  从对称中心到左端点的距离为最大回文半径，并假设为d；

  当我们求出最大回文半径d时，

  最大回文串

  的长度正好是d。

  

  

• 另外，在下面的步骤中，为了避免数组越界，我们还要在字符串开头加一个"$"，结尾加一个"!"，这样开头和结尾的两个字符一定不相等，循环就可以在这里终止。

预处理代码如下

1s = '$' + input().replace('', '#') + '!'
2#为了避免数组越界，让开头和结尾的两个字符一定不相等，循环就可以在这里终止。

2.初始化(解决了重复查找问题):

• **数据结构与逻辑变量:**马拉车算法的要求维护的变量有，一个数组d[]记录最大回文半径,d[i]表示以第i位元素为对称中心的最大回文半径，初始化长度为0(半径算上中心就是1)；当前最大回文串的(即长回文串)对称中心Im及其右端点r，初始化皆为0。
• 初始化：
• 以字符串"dadbdac"为例

这里有两种情况:

• Case 1: i<=r，即当前枚举的对称中心i被包含在当前最大回文串内，此时拓展过程可以加速

1. 当找到一个长回文串时，取其对称中心为Im，对于其中的每个对称中心i，我们可以求出关于Im的对称位置 j=2*Im-i
2. 在这个长回文串范围内，可以通过对称性得到d[i]=d[j] 。
3. 注意当d[j]>r-i时，通过d加速拓展的右子串超出了长回文串的范围。然而大于右端点的回文串我们还没有开始匹配，此时d[i] = r - i . 比方说，当Im=3时,有r=5;当i=5时,有j=1,并且前面已经算出d[j] = 1。此时d[j]>r-i，向右拓展超出了长回文串范围，则d[i]应为i到右端点r的距离,即r-i。因此，当对称中心i被包含在当前最大回文串内时，有

d[i]=min(d[2 * Im - i],r - i) （核心：如果d[j]+i<=r,则d[i]=d[j],否则d[i]=r-i）

• Case 2 : *i>r*，此时用常规的中心拓展法更新d[]、Im以及r。

3.中心拓展：

经过了上面的初始化，我们每次枚举对称中心的时候就都能够保证 s[i-d[i]]=s[i+d[i]]，而现在，只要再满足**ts[i - d[i]-1]==ts[i + d[i]+1]，**则不断向左右两边拓展半径。

综上所述，我们能够写出马拉车算法的核心代码：

1for i in range(2, len(s)-2):      
2    if(i<=r):#当对称中心i被包含在当前最大回文串内时，拓展过程可以加速(核心)
3        d[i]=min(d[2 * Im - i] , r - i )
4    while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]):#满足条件，向左右拓展半径
5        d[i] += 1

4.维护当前最大回文串的对称中心Im和r

我们仍以字符串"dadbdac"为例，求d时可以只看s[2:len-2)：

其实在上述的核心思路中，在枚举每个回文子串的对称中心时，也在不断匹配最大回文串并更新Im和r。利用已经算出来的状态来更新d[i]，这就是一种动态规划的思想。

对于一个回文串，我们用d[i]记录了其对称中心到右端点的距离。以上面的例子来说明，当i=8时(属于i>r的情况)，计算出d[i]=5，则此时容易得到r=i+d[i]=13,同时更新Im=8。**对于i<=r的情况，如果i+d[i]>r，说明当前对称中心i拓展出了回文串，于是此时需要更新对称中心Im为i,右端点r为i+d[i]。而对于i>r的情况,由于d[i]总是等于0，此时更新Im=i,r=i；**即

1if (i + d[i] > r):
2    Im, r = i, i + d[i]

顺带提一句，最开始我以为马拉车这个算法名字应该是根据Manacher英译而来，但是这个中心扩展的思路，加上通过d[i]记录了最大回文串的半径避免了重复匹配，光看这两行代码：

1while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]) d[i]++;
2if (i + d[i] > r){Im=i, r = i + d[i];}

真是有两头马在拉着一个对称中心向两边跑的感觉，大概就像这样：

然后不断更新最大回文串的对称中心Im和 r，通过d[i] = min(d[2 * Im - i], r - i)快速求解

如何求解ans就不解释啦，直接上代码:

1s = '$' + input().replace('', '#') + '!'
2d,Im,r,ans= [0]*(len(s)-2),0,0,0
3for i in range(1, len(s)-2):    
4    if (i <= r):#当对称中心i被包含在当前最大回文串内时，拓展过程可以加速
5        d[i] = min(d[2 * Im - i], r - i) #核心：如果d[j]+i<=r,则d[i]=d[j],否则d[i]=r-i
6    while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]):#满足条件，向左右拓展半径
7        d[i] += 1
8    if (i + d[i] > r):
9        Im, r = i, i + d[i]
10    ans += (d[i] + 1) // 2
11print(ans)

这个算法总时间复杂度是O(n)，空间复杂度O(n)。

另外，如果再用一个变量ma记录d[i]的最大值，稍微改一下最后两行，就可以找出字符串中的最长回文子串：

1ma,ans = (d[i],ts[i-d[i]:i+d[i]]) if (d[i]>ma) else (ma,ans)
2print(ans.replace('#',''))

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